Ток и напряжения при последовательном соединении резистивного, индуктивного и емкостного элементов

Пусть в ветви (рис. 3.8), состоящей из последовательно соединенных элементов r, L и С, т. е. в последовательном контуре или rLC-цепи, известен ток

Выясним, каковы напряжения на отдельных элементах и на входе.

На основании второго закона Кирхгофа

Постоянная интегрирования в выражении для принята равной нулю, так как в установившемся режиме, как уже указывалось, напряжение на любом участке цепи синусоидальное.

Из полученных выражений для видно, что напряжение на сопротивлении совпадает по фазе с током, напряжение на индуктивности опережает ток по фазе на угол p/2, а напряжение на емкости отстает по фазе от тока на угол p/2.

На рис. 3.9 показаны кривые мгновенных значений тока и напряжений в случае, если амплитуда напряжения на индуктивности больше амплитуды напряжения на емкости . Синусоида совпадает по фазе с синусоидой тока, а синусоиды сдвинуты относительно синусоиды тока на угол p/2 соответственно влево (опережение) и вправо (отставание). Таким образом, напряжения на индуктивности и на емкости сдвинуты относительно друг друга по фазе на угол p (находятся в противофазе).

Ординаты кривой напряжения

согласно (3.13) равны алгебраической сумме ординат кривых .

Определение напряжения н сводится к вычислению амплитуды Um и начальной фазы , которые могут быть найдены непосредственным суммированием трех синусоидальных функций времени с последующими тригонометрическими преобразованиями. Однако, как указывалось, проще всего задача решается комплексным методом.

Запишем комплексный ток и комплексные напряжения на основании выражений для их мгновенных значений:

В выражениях для учтено, что

Сопоставив выражения для мгновенных напряжений (3.15), (3.16) с комплексными напряжениями (3.19), (3.20), можно установить простое правило перехода от производной и интеграла синусоидальной функции времени к изображающим их комплексным величинам: синусоидальная функция заменяется изображающей ее комплексной величиной, дифференцирование заменяется умножением на jw, а интегрирование - делением на jw.

Сумме синусоидальных напряжений (3.13) соответствует сумма изображающих их векторов или комплексных действующих напряжений:

Это соотношение представляет собой уравнение по второму закону Кирхгофа, записанное в комплексной или векторной форме; оно представлено на векторной диаграмме (рис. 3.10). Напряжение совпадает по фазе с током i, поэтому вектор направлен одинаково с вектором I. Напряжение опережает по фазе i на p/2, поэтому вектор сдвинут относительно вектора I на угол p/2 "вперед" (против направления движения часовой стрелки). Напряжение отстает по фазе от i на p/2, поэтому вектор сдвинут относительно вектора I на угол p/2 "назад" (по направлению движения часовой стрелки).

Соображения о взаимном расположении векторов напряжения и тока непосредственно следует и из записи выражений комплексных напряжений .

Вектор (3.18) получается умножением I на действительную величину r. Аргумент комплексной величины rI такой же, как и комплексного тока I, поэтому направление вектора совпадает с направлением вектора I. Вектор (3.19) получается умножением I на . Умножение тока I на действительную величину не изменяет аргумента, а умножение на увеличивает аргумент на p/2. Следовательно, вектор повернут относительно вектора I на угол p/2 "вперед". Вектор (3.20) получается делением I на . Деление комплексной величины на не изменяет аргумента, а деление на j, равносильно умножению на уменьшает аргумент на p/2. Следовательно, вектор повернут относительно вектора I на угол p/2 "назад".

Так как умножение и деление вектора на j приводят к повороту вектора на p/2 соответственно "вперед" и "назад", то множитель j часто называют оператором поворота на p/2.

Сложив векторы , получим вектор U. Его длина определяет действующее напряжение , а положение относительно координатных осей - начальную фазу .

Решим ту же задачу аналитически. Теперь уравнение (3.22) будем рассматривать как соотношение между комплексными числами. Подставив в него значения комплексных напряжений, получим

Это соотношение между комплексным напряжением и током называют законом Ома в комплексной форме. Записав комплексные величины в показательной форме, получим

Так как то

Таким образом, амплитуда и начальная фаза напряжения на выводах контура определены и можно записать выражение для мгновенного напряжения:

В заключение отметим, что уравнение для комплексных токов и напряжений и векторные диаграммы взаимно связаны. Уравнения можно рассматривать как запись геометрических суммирований векторов, выполняемых на векторной диаграмме, и, наоборот, векторную диаграмму можно рассматривать как графическое представление соотношений между комплексными величинами в уравнении.

Дополнительно по теме