Расчеты разветвленных цепей при наличии взаимной индуктивности

Расчеты разветвленных цепей можно вести, составляя уравнения по первому и второму законам Кирхгофа или методом контурных токов. Метод узловых потенциалов непосредственно непригоден. Объясняется это тем, что ток в любой ветви зависит не только от ЭДС находящегося в ней источника и от потенциалов тех узлов, к которым ветвь присоединена, но и от токов других ветвей, которые наводят ЭДС взаимной индукции. Поэтому нельзя простым путем выразить токи ветвей через потенциалы узлов и ЭДС источников, как в цепях без индуктивно связанных элементов.

Применение метода узловых потенциалов требует особых приемов и здесь не рассматривается.

Принцип эквивалентного генератора можно применять, если внешняя по отношению к двухполюснику часть цепи не имеет индуктивных связей с той частью цепи, которая входит в состав двухполюсника. Разумеется, что нельзя пользоваться выведенными ранее формулами для преобразования треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду и обратно.

Чтобы обойти указанные выше ограничения в применении расчетных методов, в ряде случаев целесообразно исключить индуктивные связи, перейдя к эквивалентным схемам без индуктивных связей.

При составлении уравнения по второму закону Кирхгофа ЭДС взаимной индукции обычно учитываются как соответствующие напряжения. Знак комплексного напряжения на элементе k определяется на основании сопоставления направления обхода элемента к и положительного направления тока в элементе s. Если эти направления относительно одноименных выводов одинаковы, то напряжение равно . В противном случае напряжение равно . Это правило знаков вытекает из обоснований, приведенных в разделе Индуктивно связанные элементы цепи.

Рис. 6.10

В качестве примера запишем уравнения по законам Кирхгофа для схемы, представленной на рис. 6.10. Для большей ясности напряжения в уравнениях выпишем в порядке расположения элементов контура без приведения подобных членов:

Приведем также уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа для контурных токов:

Сокращенно последние уравнения можно записать так:

где - комплексные сопротивления контуров 1, 2 и 3;

- комплексные взаимные (общие) сопротивления контуров 1 и 2, 2 и 3, 3 и 1; - комплексные контурные ЭДС. Например,

Заметим, что в комплексные сопротивления контуров и в комплексные взаимные сопротивления двух контуров слагаемые входят со знаком плюс или минус в зависимости от того, совпадают или не совпадают по отношению к одноименным выводам элементов цепи k и s направление обхода контура через элемент к и положительное направление тока через элемент s.

Для цепей, содержащих индуктивно связанные элементы, справедливо свойство взаимности. Доказательство этого положения ничем не отличается от приведенного для цепей постоянного тока.

Пример 6.1.

К выводам 1-1' цепи (рис. 6.11) подведено питание. Определить напряжение между разомкнутыми выводами 2-2'. Дано:

Рис. 6.11

Решение. Полагаем . Находим:

Напряжение определяем, обходя схему от вывода 2 к выводу 2':

Если бы нижний вывод индуктивности был одноименным с верхним выводом индуктивности , то направление обхода элемента и направление тока в элементе относительно одноименных выводов были бы различными. Поэтому перед слагаемым следовало бы поставить знак минус, и напряжение было бы равно .