С применением любого неявного метода интегрирования дифференциальных уравнений можно составить эквивалентную схему электрической цепи, содержащую только действующие в цепи источники, резистивные элементы и зависимые источники, заменяющие индуктивные и емкостные элементы. Режим такой схемы описывается не системой дифференциальных уравнений, а системой алгебраических уравнений, которые составляются и решаются теми же методами, что и для цепей постоянного и переменного токов (с уравнениями Кирхгофа, контурными токами, узловыми потенциалами).

Рассмотрим замену индуктивного и емкостного элементов. Для индуктивного элемента (рис. 14.43, a) , откуда следует, что в момент ток

или с применением среднего значения интеграла (метод трапеций)

Обозначив

получим

Этому соотношению между током и напряжением индуктивного элемента для k-го шага соответствует эквивалентная схема или дискретная модель на рис. 14.43, б. При постоянном шаге h сопротивление не изменяется от шага к шагу; ток источника зависит от значений тока и напряжения элемента на предыдущем шаге. Источник тока можно по известному правилу заменить источником ЭДС (рис. 14.43, в).

Для емкостного элемента (рис. 14.44, а) , откуда следует, что в момент напряжение

или с применением среднего значения интеграла

Обозначив

получим

Эквивалентная схема или дискретная модель показана на рис. 14.44, б. Источник ЭДС можно заменить источником тока (рис. 14.44, в).

В системе уравнений, составленной после замены индуктивных и емкостных элементов, например методом контурных токов или методом узловых потенциалов , матрицы при постоянном шаге достаточно вычислить 1 раз, что упрощает составление программ.

Отметим, что формирование уравнений с переменными состояния (см. раздел) более трудоемко по сравнению с получением уравнений для дискретной модели.

Чтобы составить дискретные модели для момента времени , необходимо знать начальные значения всех величин, входящих в составляемую систему уравнений.

На рис. 14.45, а представлена дискретная модель с зависимыми и независимыми источниками тока для цепи на рис. 14.28. Модель имеет три узла. Расчет целесообразно выполнить методом узловых потенциалов.

Матрица проводимостей

Рис. 14.43

Рис. 14.44

где . Независимые начальные условия (см. рис. 14.28) . Для вычисления начальных значений потенциалов необходимо заменить индуктивный и емкостный элементы источниками (рис. 14.45, б). Как следует из рис. 14.45, б, потенциалы , где .

Рис. 14.45

Для расчета режима дискретной модели можно, когда это целесообразно, выбрать и метод расширенных узловых уравнений (см. раздел), в том числе и для цепей с управляемыми источниками.

Дискретные модели (см. рис. 14.43, б, в и 14.44, б, в) составлены с применением метода трапеций. Как указывалось, дискретные модели можно получить и на основе иных неявных алгоритмов, но, конечно, другие.

Пример 14.8.

Для цепи примера 14.6 составить дискретную модель с источниками ЭДС. Записать уравнения для расчета токов методом контурных токов.

Решение. Дискретная модель цепи показана на рис. 14.46. Выбрав в качестве контурных токи , запишем уравнения

где согласно (14.107)

Рис. 14.46

Из той же схемы на рис. 14.46 находим для предыдущего шага (левый контур); (правый контур).

После подстановки этих выражений и численных значений в уравнения контурных токов получаем систему уравнений

Решение совпадает с результатами, приведенными в примере 14.7 при расчете методом трапеций (табл. 14.4), так как дискретные модели на рис. 14.43 и 14.44 были составлены также с применением метода трапеций.

Дополнительно по теме