Разрядка будет периодической или колебательной, если сопротивление контура меньше критического: , т. е. корни характеристического уравнения ( 14.34) комплексные и сопряженные.

Обозначим в ( 14.35)

так что

где - угловая частота и - период собственных или свободных колебаний контура.

Для корней получим

Решение дифференциального уравнения ( 14.32) при комплексных корнях его характеристического уравнения удобно записать в виде

(но можно и в виде суммы двух экспонент с комплексными показателями).

Ток

Так как переходные напряжение и ток попрежнему равны их свободным значениям и начальные условия такие же, как и в двух предыдущих случаях, то по формулам (14.52) и (14.53) получим

Из последних соотношений находим

Подставив значения в (14.52) и (14.53) и обозначив для краткости

получим окончательные выражения:

Кривые изменения и i даны на рис. 14.19. Ток и напряжения представляются затухающими синусоидальными функциями с угловой частотой собственных колебаний контура и коэффициентом затухания a, причем как , так и a определяются только параметрами контура r, L и С. Начальная фаза y зависит также только от параметров контура, в то время как зависят и от параметров контура, и от начального напряжения на конденсаторе.

Быстроту затухания рассматриваемых колебаний характеризуют отношением напряжений в моменты времени t и :

Это отношение, называемое декрементом колебания, - постоянная величина, не зависящая от времени t, а зависящая лишь от параметров rLC-контура.

Часто быстроту затухания колебаний характеризуют натуральным логарифмом этого отношения

который называется логарифмическим декрементом колебания. Если кривая затухает медленно, то отношение ее значений, отстоящих на время друг от друга, близко к единице, логарифмический декремент близок к нулю. На рис. 14.20 представлены кривые изменения отношения амплитуд колебаний в конце 1, 2, 3-го и т. д. периодов к начальной амплитуде, построенные для разных значений логарифмического декремента .

Рис. 14.19

Рис. 14.20

Сопротивление r оказывает существенное влияние на скорость затухания колебательной разрядки конденсатора. Кроме того, как показывает равенство (14.49), по мере увеличения сопротивления r уменьшается частота собственных колебаний и увеличивается их период . Когда r достигнет значения , частота собственных колебаний будет равна нулю, период - бесконечности, что соответствует апериодической разрядке.

При колебательной разрядке конденсатора через идеальную катушку (r = 0) получим

т. е. затухание процесса равно нулю, а частота собственных колебаний имеет наибольшее возможное значение и равна резонансной частоте последовательного контура.

Из равенств (14.54) - (14.56) следует, что будут изменяться гармонически с угловой частотой :

Ток i отстает по фазе на p/2 от напряжения на индуктивном и опережает на p/2 напряжение на емкостном элементах. Поскольку сопротивление отсутствует, первоначальный запас энергии остается неизменным и энергия попеременно переходит из электрического поля в магнитное, и наоборот.

Дополнительно по теме